অধ্যায় ৭: সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতি (7.2)

উদাহরণ: $sin 105^{\circ}$ এর মান নির্ণয়:

$sin 105^{\circ} = sin(60^{\circ} + 45^{\circ})$
$= sin 60^{\circ} cos 45^{\circ} + cos 60^{\circ} sin 45^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

উদাহরণ: যদি $sin A = \frac{3}{5}$ এবং $cos B = \frac{12}{13}$ হয় (A, B সূক্ষ্মকোণ), $cos(A+B)$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
$sin A = \frac{3}{5} \implies cos A = \sqrt{1 - sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$
$cos B = \frac{12}{13} \implies sin B = \sqrt{1 - cos^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$
$cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B = \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13} = \frac{48-15}{65} = \frac{33}{65}$

উদাহরণ: $\frac{cos 8^{\circ} + sin 8^{\circ}}{cos 8^{\circ} - sin 8^{\circ}}$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান: লব ও হরকে $cos 8^{\circ}$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{1 + tan 8^{\circ}}{1 - tan 8^{\circ}} = \frac{tan 45^{\circ} + tan 8^{\circ}}{1 - tan 45^{\circ} \cdot tan 8^{\circ}} = tan(45^{\circ} + 8^{\circ}) = tan 53^{\circ}$

উদাহরণ: প্রমাণ কর যে, $tan 65^{\circ} = tan 25^{\circ} + 2 tan 40^{\circ}$
সমাধান:
$tan 65^{\circ} = tan(25^{\circ} + 40^{\circ}) = \frac{tan 25^{\circ} + tan 40^{\circ}}{1 - tan 25^{\circ} tan 40^{\circ}}$
বা, $tan 65^{\circ}(1 - tan 25^{\circ} tan 40^{\circ}) = tan 25^{\circ} + tan 40^{\circ}$
বা, $tan 65^{\circ} - tan 65^{\circ} tan 25^{\circ} tan 40^{\circ} = tan 25^{\circ} + tan 40^{\circ}$
বা, $tan 65^{\circ} - cot 25^{\circ} tan 25^{\circ} tan 40^{\circ} = tan 25^{\circ} + tan 40^{\circ}$
বা, $tan 65^{\circ} - tan 40^{\circ} = tan 25^{\circ} + tan 40^{\circ}$
$\therefore tan 65^{\circ} = tan 25^{\circ} + 2 tan 40^{\circ}$ (প্রমাণিত)

উদাহরণ: যদি $A+B+C=\pi$ এবং $cos A = cos B cos C$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $tan A = tan B + tan C$
সমাধান:
$tan B + tan C = \frac{sin B}{cos B} + \frac{sin C}{cos C} = \frac{sin B cos C + cos B sin C}{cos B cos C}$
$= \frac{sin(B+C)}{cos B cos C} = \frac{sin(\pi - A)}{cos A} = \frac{sin A}{cos A} = tan A$ (প্রমাণিত)

উদাহরণ: যদি $tan \theta = k \cdot tan \phi$ এবং $\theta + \phi = \alpha$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $sin(\theta - \phi) = \frac{k-1}{k+1} sin \alpha$.
সমাধান:
$k = \frac{tan \theta}{tan \phi} = \frac{sin \theta cos \phi}{cos \theta sin \phi}$। যোজন-বিয়োজন করে,
$\frac{k-1}{k+1} = \frac{sin \theta cos \phi - cos \theta sin \phi}{sin \theta cos \phi + cos \theta sin \phi} = \frac{sin(\theta - \phi)}{sin(\theta + \phi)} = \frac{sin(\theta - \phi)}{sin \alpha}$
$\therefore sin(\theta - \phi) = \frac{k-1}{k+1} sin \alpha$ (প্রমাণিত)